Question

13．已知拋物線y²=4x過焦點F的弦AB，過弦AB的中點作準線l的垂線，垂足為M，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值為0．

Answer 1

分析 分A、B所在直線與x軸垂直與不垂直兩種情況討論，利用向量數(shù)量積運算及韋達定理計算即得結(jié)論．

解答 解：由題可知：F（1，0），準線l：x=-1．
①當(dāng)A、B所在直線與x軸垂直時，易知A（1，2），B（1，-2），M（-1，0），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（2，2）•（2，-2）=0；
②當(dāng)A、B所在直線不與x軸垂直時，設(shè)其方程為：y=k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y可得：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∴弦AB中點坐標為D（$\frac{2+{k}^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
∴M（-1，$\frac{2}{k}$），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁+1，${y}_{1}-\frac{2}{k}$）•（x₂+1，y₂-$\frac{2}{k}$）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂-$\frac{2}{k}$（y₁+y₂）+$\frac{4}{{k}^{2}}$
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）-$\frac{2}{k}$•k（x₁+x₂-2）+$\frac{4}{{k}^{2}}$
=（1+k²）x₁x₂+（-1-k²）（x₁+x₂）+5+k²+$\frac{4}{{k}^{2}}$
=（1+k²）+（-1-k²）$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$+5+k²+$\frac{4}{{k}^{2}}$
=（1+k²）+（-1-k²）（$\frac{4}{{k}^{2}}$+2）+5+k²+$\frac{4}{{k}^{2}}$
=0；
綜上所述，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
故答案為：0．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．