Question

4．已知平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過點 P（-1，-2）的直線l的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos{45°}\\ y=-2+tsin{45°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為 ρsinθtanθ=2a（a＞0），直線 l與曲線C相交于不同的兩點M．N
（I）求曲線C和直線 l的普通方程；
（Ⅱ）若|PM|=|MN|，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角的平方關(guān)系以及極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)的互化公式求解；
（Ⅱ）結(jié)合直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義和二次方程的韋達(dá)定理，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos{45°}\\ y=-2+tsin{45°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程：x-y-1=0，
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為 ρsinθtanθ=2a（a＞0），
∴ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），
∴曲線C的普通方程：y²=2ax；
（Ⅱ）∵y²=2ax；
∴x≥0，
設(shè)直線l上點M、N對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，（t₁＞0，t₂＞0），
則|PM|=t₁，|PN|=t₂，
∵|PM|=|MN|，
∴|PM|=$\frac{1}{2}$|PN|，
∴t₂=2t₁，
將 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos{45°}\\ y=-2+tsin{45°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入y²=2ax得
t²-2$\sqrt{2}$（a+2）t+4（a+2）=0，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（a+2），
t₁t₂=4（a+2），
∵t₂=2t₁，
∴a=$\frac{1}{4}$．

點評 本題重點考查了曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化等知識．