Question

8．已知過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的中心的直線交雙曲線于點A，B，在雙曲線C上任取與點A，B不重合的點P，記直線PA，PB，AB的斜率分別為k₁，k₂，k，若k₁k₂＞k恒成立，則離心率e的取值范圍為（　　）

• A． 1＜e＜$\sqrt{2}$
• B． 1＜e≤$\sqrt{2}$
• C． e＞$\sqrt{2}$
• D． e≥$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由雙曲線的對稱性得B（-x₁，-y₁），從而得到k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，將A，P坐標代入雙曲線方程，相減，可得k₁k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，又k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，由雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，則k趨近于$\frac{a}$，可得a，b的不等式，結合離心率公式，計算即可得到．

解答 解：設A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
由題意知點A，B為過原點的直線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的交點，
∴由雙曲線的對稱性得A，B關于原點對稱，
∴B（-x₁，-y₁），
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵點A，P都在雙曲線上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減，可得：$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$，
即有k₁k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，又k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
由雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，則k趨近于$\frac{a}$，
k₁k₂＞k恒成立，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{a}$，
即有b≥a，即b²≥a²，
即有c²≥2a²，
則e=$\frac{c}{a}$≥$\sqrt{2}$．
故選D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，涉及到導數(shù)、最值、雙曲線、離心率等知識點，綜合性強，難度大，解題時要注意構造法的合理運用．