Question

5．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$ωkx+$\frac{π}{2}$）的一個對稱中心是（$\frac{3π}{4}$，0）．且g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，求正實數(shù)k的取值．

Answer 1

分析 （1）由圖知A=2，T=2（$\frac{3π}{8}$+$\frac{π}{8}$）=π，可求ω的值，利用第一點向左平移量，可求φ的值，從而可得函數(shù)的解析式；
（2）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）結(jié)合（1）中ω的值及g（x）的一個對稱中心是（$\frac{3π}{4}$，0）．且g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，可得正實數(shù)k的值．

解答 解：（1）由已知中函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象可得：
函數(shù)的最大值為2，最小值-2，故A=2，
函數(shù)的周期T=2（$\frac{3π}{8}$+$\frac{π}{8}$）=π，故ω=2，
由第一點向左平移量L=$\frac{π}{8}$，可得：φ=Lω=$\frac{π}{4}$，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
（2）由2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z，
又∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]，
即函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]；
（3）∵g（x）=2sin（kx+$\frac{π}{2}$）=2coskx的一個對稱中心是（$\frac{3π}{4}$，0）．
∴cos$\frac{3kπ}{4}$=0，即$\frac{3kπ}{4}$=$\frac{π}{2}$+nπ，n∈Z，則k=$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$n，n∈Z，
又∵g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，
∴$\frac{kπ}{2}$≤π，
∴k≤2，
故當(dāng)n=1時，k=2滿足要求．

點評 本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，難度中檔．