Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為BC，PA，PD的中點(diǎn)，且PA=AB=2．
（Ⅰ）證明：EF∥平面ACG；
（Ⅱ）證明：平面PBC⊥平面AEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF∥平面ACG．
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和平面AEF的法向量，利用向量法能證明平面PBC⊥平面AEF．

解答 證明：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意，得：E（$\sqrt{3}$，0，0），F(xiàn)（0，0，1），A（0，0，0），
C（$\sqrt{3}，1，0$），P（0，0，2），D（0，2，0），G（0，1，1），
$\overrightarrow{EF}$=（-$\sqrt{3}$，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{AG}$=（0，1，1），
設(shè)平面ACG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=-$\sqrt{3}+0+\sqrt{3}$=0，
∵EF?平面ACG，∴EF∥平面ACG．
（Ⅱ）P（0，0，2），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}，1，0$），
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，-1，-2$），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，1，-2$），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}x-y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x+y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，0，$\sqrt{3}$），
平面AEF的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}$=0，
∴平面PBC⊥平面AEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．