Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x+1|，g（x）=x+3．
（1）若a=-1，求f（x）≥g（x）的解集；
（2）若當(dāng)x≥-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=-1代入f（x），問題轉(zhuǎn)化為解不等式|x-1|+|2x+1|≥x+3，通過討論x的范圍，從而求出不等式的解集即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為：|x+a|≥2-x在x∈[-$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，通過去掉絕對值解出即可．

解答 解：（1）a=-1時(shí)：f（x）=|x-1|+|2x+1|，
由f（x）≥g（x），
得：|x-1|+|2x+1|≥x+3①，
x≥1時(shí)：①可化為：x-1+2x+1≥x+3，
解得：x≥$\frac{3}{2}$；
-$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)：①可化為：-x+1+2x+1≥x+3，
得：2≥3，不合題意；
x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)：①可化為：1-x-2x-1≥x+3，
解得：x≤-$\frac{3}{4}$；
綜上，不等式的解集是（-∞，-$\frac{3}{4}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）；
（2）當(dāng)x≥-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立，
轉(zhuǎn)化為：|x+a|≥2-x在x∈[-$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
x+a≥0時(shí)：a≥2-2x，
而y_max=（2-2x）_max=3，
故a≥3，
x+a＜0時(shí)：a≤-2，
故a的范圍是[3，+∞）∪（-∞，-2]．

點(diǎn)評 本題考察了解絕對值不等式問題，考察函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．