Question

18．在△ABC中，己知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，b=ccosA，又△ABC的面積為6．
（Ⅰ）求△ABC的三邊長(zhǎng)；
（Ⅱ）若D為BC邊上的一點(diǎn)，且CD=1，求tan∠BAD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）△ABC中，由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得tanA的值，再同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinA、cosA以及bc的值，從而求得三邊長(zhǎng)．
（Ⅱ）由題意可得，△ABC中，由余弦定理可得cosB 的值，△ABD中，利用余弦定理求得AD、cos∠BAD 的值，從而求得tan∠BAD的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，由題意可得cb•cosA=9，$\frac{1}{2}$bc•sinA=6，
∴tanA=$\frac{4}{3}$，∴sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=$\frac{3}{5}$，且bc=15．
再根據(jù)b=ccosA=c•$\frac{3}{5}$，求得b=3，c=5，∴a=$\sqrt{^{2}{+c}^{2}-2bc•cosA}$=4．
（Ⅱ）由題意可得，△ABC中，由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{16+25-9}{2•4•5}$=$\frac{4}{5}$．
△ABD中，由AB=c=5，BD=$\frac{3}{4}$a=3，利用余弦定理可得 AD²=BA²+BD²-2BA•BD•cosB=25+9-2•5•3•$\frac{4}{5}$=10，故AD=$\sqrt{10}$．
再根據(jù)cos∠BAD=$\frac{{AD}^{2}{+AB}^{2}{-BD}^{2}}{2AD•AB}$=$\frac{13\sqrt{10}}{50}$，∴sin∠BAD=$\sqrt{{1-cos}^{2}∠BAD}$=$\frac{9\sqrt{10}}{50}$，
∴tan∠BAD=$\frac{sin∠BAD}{cos∠BAD}$=$\frac{9}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．