Question

3．已知a、b、c為正數(shù)，
（1）若直線2x-（b-3）y+6=0與直線bx+ay-5=0互相垂直，試求2a+3b的最小值；
（2）求證：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)兩直線垂直得出（a-2）（b-3）=6，再運(yùn)用基本不等式求2a+3b的最小值；
（2）先將原式因式分解，再運(yùn)用基本不等式通過(guò)放縮證明不等式．

解答 解：（1）∵直線2x-（b-3）y+6=0與直線bx+ay-5=0垂直，
∴2b+a[-（b-3）]=0，即ab-3a-2b=0，
∴（a-2）（b-3）=6，
∵a、b為正數(shù)，∴a＞2，b＞3，
∴2a+3b=2（a-2）+3（b-3）+13
$≥2\sqrt{2（a-2）•3（b-3）}+13=25$，
當(dāng)且僅當(dāng)：2（a-2）=3（b-3），即$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=5}\end{array}\right.$時(shí)，取“=”，
故2a+3b的最小值是25；
（2）∵a、b、c為正數(shù)，
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）
=（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）
≥2$\sqrt{a}$•2$\sqrt$•2$\sqrt{ac}$•2$\sqrt{bc}$
=16abc，
即（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc，
當(dāng)且僅當(dāng)：a=b=c=d=1時(shí)，取“=”．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在求最值問(wèn)題中的應(yīng)用，以及不等式的證明，考查了構(gòu)造的計(jì)算技巧和整體的解題思想，屬于中檔題．