Question

13．已知遞增的等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)和為6，前三項(xiàng)的積為6．
（Ⅰ）求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．記${b_n}=\frac{1}{S_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè){a_n}的前三項(xiàng)為a₂-d，a₂，a₂+d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出公差和a₂，由此能求出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）求出等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．從而${b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵遞增的等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)和為6，前三項(xiàng)的積為6．
依題意得{a_n}的前三項(xiàng)為a₂-d，a₂，a₂+d，
則$\left\{\begin{array}{l}3{a_2}=6\\{a_2}（{a_2}-d）（{a_2}+d）=6\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=2\\ d=1或d=-1（舍）\end{array}\right.$
∴a_n=2+（n-2）×1=n．…（6分）
（Ⅱ）∵${S_n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}•n=\frac{1+n}{2}•n$，${b_n}=\frac{1}{S_n}$，
∴${b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$…（8分）
∴${T}_{n}=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．