Question

9．如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，$BD=\frac{1}{2}DC$，若AB=1，AC=2，則AD•BD的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)BD=a，求出AD，再利用基本不等式，即可求出AD•BD的最大值．

解答 解：設(shè)BD=a，則DC=2a，∴cosB=$\frac{1+9{a}^{2}-4}{2×1×3a}$=$\frac{3{a}^{2}-1}{2a}$，
∴AD=$\sqrt{1+{a}^{2}-2×1×a×\frac{3{a}^{2}-1}{2a}}$=$\sqrt{2-2{a}^{2}}$，
∴AD•BD=a•$\sqrt{2-2{a}^{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{a}^{2}（1-{a}^{2}）}$≤$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴AD•BD的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理、基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．