Question

19．如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求O點到平面ACD的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，推導出AO⊥BD，AO⊥OC，由此能證明AO⊥平面BCD．
（Ⅱ）設(shè)點O到平面ACD的距離為h，由V_O-ACD=V_A-OCD，能求出點O到平面ACD的距離．

解答 證明：（1）連結(jié)OC，
∵△ABD為等邊三角形，O為BD的中點，
∴AO⊥BD．
∵△ABD和△CBD為等邊三角形，O為BD的中點，$AB=2，AC=\sqrt{6}$，
∴$AO=CO=\sqrt{3}$．
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=0，∴AO⊥平面BCD．  …（6分）
解：（Ⅱ）設(shè)點O到平面ACD的距離為h．
∵V_O-ACD=V_A-OCD，∴$\frac{1}{3}{S_{△OCD}}•AO$．
在△ACD中，AD=CD=2，
$AC=\sqrt{6}$${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}\sqrt{6}•\sqrt{{2^2}-{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$．
而$AO=\sqrt{3}$，${S_{△OCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$h=\frac{{{S_{△OCD}}}}{{{S_{△ACD}}}}•AO=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
∴點O到平面ACD的距離為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．