Question

6．對任意$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，不等式sinx•f（x）＜cosx•f′（x）恒成立，則下列不等式錯誤的是（　�。�

• A． $f（{\frac{π}{3}}）＞\sqrt{2}f（{\frac{π}{4}}）$
• B． $f（{\frac{π}{3}}）＞2cos1•f（1）$
• C． $f（{\frac{π}{4}}）＜\sqrt{2}cos1•f（1）$
• D． $f（{\frac{π}{4}}）＜\frac{{\sqrt{6}}}{2}f（{\frac{π}{6}}）$

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）cosx，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性進行判斷即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）cosx，
則g′（x）=cosx•f′（x）-sinx•f（x），
∵sinx•f（x）＜cosx•f′（x），
∴g′（x）=cosx•f′（x）-sinx•f（x）＞0，
即g（x）在$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$上為增函數(shù)，
則g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$），
即f（$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$＜f（$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\frac{π}{4}$），
即$\frac{\sqrt{6}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{4}$），
又g（1）＜g（$\frac{π}{3}$），
即f（1）cos1＜f（$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$，
即$f（{\frac{π}{3}}）＞2cos1•f（1）$，
故錯誤的是D．
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的大小比較，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．