18.△ABC中,AB=2,BC=$\sqrt{10}$,AC=3,O是△ABC的外心,求滿足下列關(guān)系式$\overrightarrow{AO}$=p•$\overrightarrow{AB}$+q•$\overrightarrow{AC}$的實數(shù)p,q的值.

分析 可分別取AB,AC的中點D,E,并連接OD,OE,從而有OD⊥AB,OE⊥AC,而由余弦定理可以得到cos∠BAC=$\frac{1}{4}$.對等式$\overrightarrow{AO}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$的兩邊分別乘向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$,進行數(shù)量積的運算便可得出關(guān)于p,q的方程組:$\left\{\begin{array}{l}{2=4p+\frac{3}{2}q}\\{\frac{9}{2}=\frac{3}{2}p+9q}\end{array}\right.$,解方程組便可得出p,q的值.

解答 解:如圖,取AB中點D,AC中點E,連接OD,OE,則OD⊥AB,OE⊥AC;

在△ABC中,AB=2,BC=$\sqrt{10}$,AC=3;
∴由余弦定理得,$cos∠BAC=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{4+9-10}{12}=\frac{1}{4}$;
由$\overrightarrow{AO}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$得:$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=p{\overrightarrow{AB}}^{2}+q\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=p\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+q{\overrightarrow{AC}}^{2}}\end{array}\right.$;
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{AB}|cos∠BAO$=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|=2×1=2$,$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AE}|=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=4p+\frac{3}{2}q}\\{\frac{9}{2}=\frac{3}{2}p+9q}\end{array}\right.$;
解得$p=\frac{1}{3},q=\frac{4}{9}$.

點評 考查三角形外心的定義,余弦定理,以及數(shù)量積的運算及其計算公式,余弦函數(shù)的定義.

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