Question

12．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，則u=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{5}$]．

Answer 1

分析 畫出約束條件表示的可行域，顯然當(dāng)x，y都取得最大值時(shí)u取得最小值，當(dāng)u取得最大值時(shí)，點(diǎn)（x，y）必在可行域的邊界上，此時(shí)根據(jù)基本不等式求出u的最大值．

解答 解：作出約束條件表示的可行域如圖：

由可行域可知當(dāng)x=4，y=2時(shí)，u=$\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}$取得最小值$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$．
當(dāng)點(diǎn)（x，y）落在直線x+2y-5=0上某處時(shí)，u=$\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}$取得最小值．
此時(shí)，x+2y=5，2xy≤（$\frac{x+2y}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．
∴u=$\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=\frac{x+2y}{2xy}=\frac{5}{2xy}$≥$\frac{4}{5}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=$\frac{5}{2}$，y=$\frac{5}{4}$時(shí)取等號(hào)．顯然點(diǎn)（$\frac{5}{2}，\frac{5}{4}$）在可行域內(nèi)．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 平面區(qū)域的最值問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．