2．圓錐的全面積是5π，側(cè)面展開圖的圓心角是90°，則圓錐的體積是$\frac{\sqrt{15}}{3}π$．

分析 設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，利用圓錐的底面周長就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，推出底面半徑與母線的關(guān)系，通過圓錐的表面積求出底面半徑，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．

解答 解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr=$\frac{1}{2}$πl(wèi)，得l=4r，
圓錐的表面積S=πr（r+l）=5πr2=5π，
解得：r=1，l=4，
則圓錐的高h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
故圓錐的體積V=$\frac{1}{3}{πr}^{2}h$=$\frac{\sqrt{15}}{3}π$，
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{3}π$．

點評 本題是中檔題，正確利用圓錐的底面周長就是展開圖的弧長，是本題的突破口，是難點所在，考查空間想象能力，計算能力，常考題型

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