Question

18．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，已知S_n=$\frac{1}{2}•{3^n}+\frac{3}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_nb_n=log₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=S₁，a_n=S_n-S_n-1（n＞1），化簡整理，即可得到所求通項；
（2）化簡數(shù)列b_n，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求．

解答 解：（1）由2S_n=3ⁿ+3可得a₁=S₁=$\frac{3+3}{2}$=3，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（3ⁿ+3）-$\frac{1}{2}$（3^n-1+3）=3^n-1（n≥2），
則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3}^{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$；
（2）由a_nb_n=log₃a_n及a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3}^{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$可得：
b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}，n=1}\\{\frac{n-1}{{3}^{n-1}}，n＞1}\end{array}\right.$．
前n項和T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+$\frac{3}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n-2}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$，
相減可得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$
=$\frac{2}{9}$+$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$，
化簡可得，前n項和T_n=$\frac{13}{12}$-$\frac{2n+1}{4•{3}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法和求和的方法，考查錯位相減法求和，數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．