Question

13．設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上且滿足|BM|=2|MA|，直線OM的斜率為$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C為橢圓的下頂點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MN⊥AB．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)題意，利用$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，可得點(diǎn)M坐標(biāo)，利用直線OM的斜率為$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)中點(diǎn)坐標(biāo)公式解得點(diǎn)N坐標(biāo)，利用$\frac{5b}{a}$×（$-\frac{a}$）=-1，即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)M（x，y），已知A（a，0），B（0，b），由|BM|=2|MA|，
所以$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，即（x-0，y-b）=2（a-x，0-y），
解得x=$\frac{2}{3}$a，y=$\frac{1}{3}$b，即可得$M（\frac{2a}{3}，\frac{3}）$，┅┅┅┅┅┅┅（3分）
所以$\frac{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，所以橢圓離心率$\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$；┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)镃（0，-b），所以N$（\frac{a}{2}，-\frac{2}）$，MN斜率為$\frac{5b}{a}$，┅┅┅┅┅┅┅（9分）
又AB斜率為$-\frac{a}$，所以$\frac{5b}{a}$×（$-\frac{a}$）=-1，所以MN⊥AB．┅┅┅┅┅┅┅（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查運(yùn)用向量知識(shí)解決圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力、注意解題方法的積累，屬于中檔題．