Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，2cosx），$\overrightarrow$=（$2\sqrt{3}$cosx，-cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，若∠A滿足$f（A-\frac{π}{6}）=1$，且△ABC的面積為8，求△ABC周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，用上二倍角的正弦、余弦公式即可求得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，從而可得到f（x）的周期為π，解$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}$+2kπ即可得到其單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)條件容易求出A=$\frac{π}{2}$，可設(shè)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)度分別為a，b，c，則有：$\frac{1}{2}bc=8$，由基本不等式即可求b+c$a=\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$的最小值，從而求出△ABC周長(zhǎng)的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx-2{cos^2}x=\sqrt{3}sin2x-cos2x-1$=$2sin（2x-\frac{π}{6}）-1$；
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]，（k∈Z）$；
（Ⅱ）由$f（A-\frac{π}{6}）=1$得$2sin（2A-\frac{π}{3}-\frac{π}{6}）-1=1$，即$sin（2A-\frac{π}{2}）=1$；
因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以：
$2A-\frac{π}{2}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{π}{2}$；
∴a²=b²+c²，$\frac{1}{2}bc=8，bc=16$；
∴$b+c≥2\sqrt{bc}=8$，$a=\sqrt{{b^2}+{c^2}}≥\sqrt{2bc}=4\sqrt{2}$；
∴$a+b+c≥8+4\sqrt{2}$，當(dāng)b=c=4時(shí)取“=”；
所以△ABC周長(zhǎng)的最小值為$8+4\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的正余弦公式，兩角差的正弦公式，以及三角形內(nèi)角的范圍，已知三角函數(shù)值求角，直角三角形邊的關(guān)系，以及基本不等式用于求最小值．