Question

2．如圖所示，P是菱形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，且∠DAB=60°，邊長為a．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB與平面AC所成的角為θ，則θ=45°．

Answer 1

分析 取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、BG、BD．正△PAD中利用“三線合一”，證出PG⊥AD，結(jié)合平面PAD⊥平面ABCD，得到PG⊥平面ABCD，可得∠PBG就是直線BP與平面ABCD所成角．再根據(jù)△ABD是與△PAD全等的正三角形，證出Rt△PBG中，是等腰直角三角形，可得∠PBG=45°，即得直線BP與平面ABCD所成角的大�。�

解答 取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、BG、BD，
∵正△PAD中，PG為中線，∴PG⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，可得∠PBG就是直線BP與平面ABCD所成角，
∵在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是與△PAD全等的正三角形，
∴Rt△PBG中，PG=BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，可得∠PBG=45°，
即直線BP與平面AC所成角的大小為45°；
故答案為：45°．

點(diǎn)評(píng) 本題在特殊四棱錐中求直線與平面所成角的大小，并探索面面垂直的存在性，著重考查了面面平行、面面垂直的位置關(guān)系判定和線面所成角大小求法等知識(shí)，屬于中檔題．