Question

3．若X是一個集合，т是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于т，∅屬于т；②т中任意多個元素的并集屬于т；③т中任意多個元素的交集屬于т．則稱т是集合X上的一個拓撲．已知函數(shù)f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)，當x∈（0，n]，n∈N^*時，函數(shù)f（x）值域為集合A_n，則集合A₂上的含有4個元素的拓撲т的個數(shù)為9．

Answer 1

分析 根據(jù)集合X上的拓撲的集合τ的定義，判斷n的值，利用元素與集合的關系判斷滿足題意的集合A₂上的含有4個元素的拓撲т的個數(shù)．

解答 解：函數(shù)f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)，當x∈（0，n]，n∈N^*時，函數(shù)f（x）值域為集合A_n，依題意，n=2，故0＜x≤2，
①當0＜x＜1時，則[x]=0，∴f[x[x]]=0，
②當x=1時，[x]=1顯然f（1）=1，
③當1＜x＜2時，[x]=1，∴f[x[x]]=[x]=1，
④當x=2時，f（2）=4，
∴A₂={0，1，4}，
∵т中含有4個元素，其中兩個元素∅和A₂，
∴A₂={0，1，4}．其它兩個元素為A，B，則$\left\{\begin{array}{l}A≠∅\\ A≠{A}_{2}\\ B≠∅\\ B≠{A}_{2}\\ A≠B\end{array}\right.$
由對稱性，不妨設1≤|A|≤|B|≤2，其中|A|、|B|表示集合A中元素的個數(shù)，
∵$\left\{\begin{array}{l}A∩B∈т\\ A∪B∈т\end{array}\right.$，又|A|≤|B|，∴A∩B=∅或A，
若A∩B=∅，則A∪B只能等于A₂，（若A∪B=B，則A⊆B，則A∩B=A=∅，矛盾）
則必有$\left\{\begin{array}{l}\left|A\right|=1\\ \left|B\right|=2\end{array}\right.$，∴（A，B）的個數(shù)?A的個數(shù)=3種．即$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{0\right\}\\ B=\{1，4\}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{1\right\}\\ B=\{0，4\}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{4\right\}\\ B=\{0，1\}\end{array}\right.$
若A∩B=A?A⊆B此時滿足A∪B=B，∵A≠B且1≤|A|且|B|≤2，∴$\left\{\begin{array}{l}\left|A\right|=1\\ \left|B\right|=2\end{array}\right.$，
∴B的選擇共有${C}_{3}^{2}$=3種，則A的個數(shù)有${C}_{2}^{1}$種，
∴（A，B）的個數(shù)=2×3=6種．（這6種是$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{0\right\}\\ B=\{0，1\}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{1\right\}\\ B=\{0，1\}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{0\right\}\\ B=\{0，4\}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{4\right\}\\ B=\{0，4\}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{1\right\}\\ B=\{1，4\}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{4\right\}\\ B=\{1，4\}\end{array}\right.$．
綜上可知т的個數(shù)為9個．
故答案為：9．

點評 本題考查集合的關系，元素個數(shù)的判斷，考查推理與證明，注意拓撲知識的應用，難度比較大．