Question

7．已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}滿足a₃•a₄=108，a₂+a₅=21；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足b₁=1，b₂=3，S_n+1=4S_n-3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a₃，a₄是x²-21x+108=0的兩個(gè)根，解方程x²-21x+108=0，得a₃=9，a₄=12，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出首項(xiàng)與公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由已知推導(dǎo)出S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），S₂-S₁=3，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵公差大于零的等差數(shù)列{a_n}滿足a₃•a₄=108，a₂+a₅=21，
∴a₃+a₄=21，a₃＜a₄，
∴a₃，a₄是x²-21x+108=0的兩個(gè)根，
解方程x²-21x+108=0，得a₃=9，a₄=12，
∴d=a₄-a₃=12-9=3，
a₁+2×3=9，解得a₁=3，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足b₁=1，b₂=3，S_n+1=4S_n-3S_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），S₂-S₁=3，
∴{S_n+1-S_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴${S}_{n+1}-{S}_{n}=_{n+1}={3}^{n}$，
∴$_{n}={3}^{n-1}$．
n=1時(shí)，上式成立，
∴$_{n}={3}^{n-1}$．
（2）c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，①
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②得，-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹
=（$\frac{1}{2}-n$）•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}（n-\frac{1}{2}）•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．