Question

【題目】若有窮數(shù)列（）滿足：①；②.則稱該數(shù)列為“階非凡數(shù)列”

（1）分別寫出一個單調(diào)遞增的“階非凡數(shù)列”和一個單調(diào)遞減的“階非凡數(shù)列”；

（2）設(shè)，若“階非凡數(shù)列”是等差數(shù)列，求其通項公式；

（3）記“階非凡數(shù)列”的前項的和為，求證：

Answer 1

【答案】（1）三階；四階；

（2），；（3）證明見解析；

【解析】

（1）令即可得到“階非凡數(shù)列”；令，即可得到“階非凡數(shù)列”；

（2）由等差數(shù)列是“階非凡數(shù)列” 得，則數(shù)列各項以為分界線，接下來對公差分兩種情況討論，即和，將均用表示，從而分別求得通項公式；

（3）對分兩種情況討論，即和，當(dāng)時結(jié)論顯然成立，當(dāng)時，要結(jié)合絕對值不等式進(jìn)行證明.

（1）“階非凡數(shù)列”為：；“階非凡數(shù)列”為：.

（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

，

，即，

當(dāng)時，為遞增數(shù)列，

且，

，

①；②，

，

，

.

，

當(dāng)時，為遞減數(shù)列，同理可得：

，，

，

即，

.

（3）當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

，

，

，

，

綜上所述：成立.