Question

17．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與y軸相交于C，與x軸相交于A，B，點A的坐際為（2，0），點C的坐標(biāo)為（0，-1）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）點D是該拋物線上位于A，C之間的一動點，求△ADC面積的最大值，并求出此時點D的坐標(biāo)；
（3）在直線BC上是否存在一點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐際；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù)，因此只需將A、C兩點的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）首先假設(shè)出D點坐標(biāo)，進而表示出S=S_△AOD+S_△OCD-S_△AOC得出答案；
（3）根據(jù)拋物線的解析式，可求出B點的坐標(biāo)，進而能得到直線BC的解析式，設(shè)出點P的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線BC的解析式表示出P點的縱坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)系兩點間的距離公式分別表示出△ACP三邊的長，從而根據(jù)：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三種不同等量關(guān)系求出符合條件的P點坐標(biāo)．

解答 解：（1）由于拋物線經(jīng)過A（2，0），C（0，-1），
則有c=-1，2+2b+c=0
解得：b=-$\frac{1}{2}$，
故拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1．
 （2）如圖1，連接OE，AE
當(dāng)y=0，則0=x²-x-1，
解得：x₁=2，x₂=-1，
A（2，0），設(shè)D（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1），
故△ACD的面積：
S=S_△AOD+S_△OCD-S_△AOC
=$\frac{1}{2}$×2×[-（$\frac{1}{2}$ x²-$\frac{1}{2}$x-1）+×1×x-$\frac{1}{2}$×1×2
=-$\frac{1}{2}$x²+x
=-（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
因此當(dāng)x=1，
即D（1，-1）時，△ACE的面積最大，且最大值為$\frac{1}{2}$．
 （3）由（1）的拋物線解析式易知：B（-1，0），
可求得直線BC的解析式為：y=-x-1；
設(shè)P（x，-x-1），因為A（2，0），C（0，-1），則有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①如圖2，

當(dāng)AP=CP時，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
故P₁（2.5，-3.5）；
②如圖3，

當(dāng)AP=AC時，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，
解得：x=0（舍去），x=1，
故P₂（1，-2）；
③如圖4，

當(dāng)CP=AC時，CP²=AC²，有：
2x²=5，
解得：x=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故P₃（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1），P₄（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1）；
綜上所述，存在符合條件的P點，且P點坐標(biāo)為：P₁（2.5，-3.5），P₂（1，-2），P₃（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1），P₄（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$-1）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識，同時還考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．