Question

1．已知函數(shù)f（x）=log₃x+2，x∈[1，9]，求函數(shù)y=[f（x）]²十f（x²）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 將f（x）=2+log₃x代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化簡(jiǎn)為關(guān)于log₃x的函數(shù)，利用換元法求單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)即可得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：令log₃x=t，
∵x∈[1，9]，
∴t∈[0，2]，
∴f（t）=t+2，
∵y=[f（x）]²十f（x²），
∴y=（t+2）²+2t+2=t²+6t+6=（t+3）²-3，
∴函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞增，
∵y=log₃x在[1，9]上為增函數(shù)，
∴函數(shù)y=[f（x）]²十f（x²）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查換元法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特點(diǎn)，在使用換元法時(shí)，注意范圍．