Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+2x（a≠0），g（x）=lnx．
（Ⅰ）若h（x）=f（x）-g（x）是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）由題意，原方程的根餓問題等價于方程ax²+（1-2a）x-lnx=0在(

1

e

，e)內(nèi)的零點問題，再利用導(dǎo)數(shù)，和零點的存在定理，求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得h(x)=

1

2

ax2+2x-lnx，且x＞0，則h′(x)=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

，
∵函數(shù) h（x）是減函數(shù)，
∴h′（x）≤0恒成立，
∴ax²+2x-1≤0恒成立，
得 

a＜0 △=4+4a≤0

解得 a≤-1，
即a的取值范圍是 （-∞，-1]，
（Ⅱ）方程 

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)為

lnx

x

=ax+2-(2a+1)，

lnx

x

=ax+(1-2a)，等價于方程ax²+（1-2a）x-lnx=0，
設(shè) H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，
于是原方程在區(qū)間(

1

e

，e)內(nèi)根的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)H（x）在(

1

e

，e)內(nèi)的零點問題．
H′(x)=2ax+(1-2a)-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，
當(dāng) x∈（0，1）時，H'（x）＜0，H（x）是減函數(shù)，
當(dāng) x∈（1，+∞）時，H'（x）＞0，H（x）是增函數(shù)，
若 H(x)在(

1

e

，e)內(nèi)有且只有兩個不相等的零點，只須

H( 1 e )= a e2 + 1-2a e +1= (1-2e)a+e2+e e2 ＞0 Hmin(x)=H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0 H(e)=ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0

解得1＜a＜

e2+e

2e-1

即a的取值范圍是 (1，

e2+e

2e-1

)．

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及零點的存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題．