Question

18．已知函數f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a＞1時，求f（x）的單調區(qū)間與極值點．

Answer 1

分析 （1）求出a=1時的函數的導數，求得切線的斜率和切點，再由點斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出導數，令導數大于0，得增區(qū)間，令導數小于0，得減區(qū)間，進而得到極值點．

解答 解：（1）當a=1，f（x）=x²-4x+2lnx，
所以$f'（x）=\frac{{2{x^2}-4x+2}}{x}（x＞0）$，f（1）=-3，f'（1）=0，
所以切線方程為y=-3．
（2）$f'（x）=\frac{{2{x^2}-2（a+1）x+2a}}{x}=\frac{2（x-1）（x-a）}{x}（x＞0）$，
由f'（x）=0得x₁=a，x₂=1，
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（1，a）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
所以f（x）的單調增區(qū)間是（0，1）和（a，+∞），單調減區(qū)間是（1，a）．
x=1是函數f（x）的極大值點，x=a是函數f（x）的極小值點．

點評 本題考查導數的運用：求切線方程和單調區(qū)間、極值，主要考查導數的幾何意義和不等式的解法，屬于基礎題．