Question

14．已知圓A：（x+2）²+y²=1，圓B：（x-2）²+y²=49，動(dòng)圓P與圓A，圓B均相切．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)N（2，$\frac{5}{3}$），作射線AN，與“P點(diǎn) 軌跡”交于另一點(diǎn)M，求△MNB的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），半徑為r，而圓A內(nèi)含于圓B，當(dāng)動(dòng)圓P與圓A外切，與圓B內(nèi)切時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓；當(dāng)動(dòng)圓P與圓A內(nèi)切，與圓B內(nèi)切時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）由橢圓定義知：|MA|+|MB|=8，|NA|+|NB|=6，由此能求出△MNB周長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵圓A：（x+2）²+y²=1，圓B：（x-2）²+y²=49，動(dòng)圓P與圓A，圓B均相切，
∴圓A的圓心A（-2，0），半徑R₁=1，圓B的圓心B（2，0），半徑R₂=7，
設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），半徑為r，而圓A內(nèi)含于圓B，
當(dāng)動(dòng)圓P與圓A外切，與圓B內(nèi)切時(shí)，有|PA|=r+1，|PB|=7-r，
∴|PA|+|PB|=8＞|AB|=4，
由橢圓定義知：動(dòng)點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．（4分）
當(dāng)動(dòng)圓P與圓A內(nèi)切，與圓B內(nèi)切時(shí)，有|PA|=r-1，|PB|=7-r，
∴|PA|+|PB|=6＞|AB|=4，
由橢圓定義知：動(dòng)點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$．
綜上可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$或$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$．（8分）
（2）由題意N點(diǎn)在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$上，A，B是兩橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$和$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的公共焦點(diǎn)，
由橢圓定義知：|MA|+|MB|=8，|NA|+|NB|=6，
兩式相減得：|MN|+|MB|-|NB|=2，而$|{NB}|=\frac{5}{3}$，
故△MNB周長(zhǎng)等于$|{MN}|+|{MB}|+|{NB}|=2+2|{NB}|=2+2×\frac{5}{3}=\frac{16}{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)圓圓心的軌跡方程的求法，考查三角形周長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓、橢圓等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．