Question

5．若AB為過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1中心的線段，點(diǎn)A、B為橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則四邊形F₁AF₂B面積的最大值是8．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，設(shè)出A（m，n），B（-m，-n），由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形F₁AF₂B為平行四邊形，則四邊形F₁AF₂B面積為S=2${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$，運(yùn)用橢圓的范圍，即可得到所求最大值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=2$\sqrt{2}$，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2，
即有|F₁F₂|=2c=4，
設(shè)A（m，n），B（-m，-n），
由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形F₁AF₂B為平行四邊形，
則四邊形F₁AF₂B面積為S=2${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=2•$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|n|
=4|n|，
由橢圓的范圍可得|n|的最大值為2，
即有S的最大值為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用橢圓的對(duì)稱性和范圍，以及平行四邊形的面積的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．