Question

18．為了制作廣告牌，需在如圖所示的鐵片上切割出一個直角梯形，已知鐵片由兩部分組成，半徑為1的半圓O及等腰直角三角形EFH，其中FE⊥FH．為裁剪出面積盡可能大的梯形鐵片ABCD（不計損耗），將點A，B放在弧EF上，點C、D放在斜邊EH上，且AD∥BC∥HF，設(shè)∠AOE=θ．
（1）求梯形鐵片ABCD的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試確定θ的值，使得梯形鐵片ABCD的面積S最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用含有θ的代數(shù)式表示梯形ABCD的上下底面邊長和高，代入梯形的面積公式求得ABCD的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）對得到的面積關(guān)于θ的關(guān)系式求導，求出函數(shù)的極值點，也就是最大值點，則面積的最大值可求．

解答 解：（1）連接OB，根據(jù)對稱性可得∠AOE=∠BOF=θ且OA=OB=1，
∴AD=1-cosθ+sinθ，BC=1+cosθ+sinθ，AB=2cosθ，
∴$S=\frac{（AD+BC）•AB}{2}=2（1+sinθ）cosθ$，其中$0＜θ＜\frac{π}{2}$；
（2）記$f（θ）=2（1+sinθ）cosθ，0＜θ＜\frac{π}{2}$，
f′（θ）=2（cos²θ-sinθ-sin²θ）=$-2（2sinθ-1）（sinθ+1）（0＜θ＜\frac{π}{2}）$．
當$0＜θ＜\frac{π}{6}$時，f′（θ）＞0，當$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}$時，f′（θ）＜0，
∴$f（θ）_{max}=f（\frac{π}{6}）=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即$θ=\frac{π}{6}$時，${S}_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了簡單的建模思想方法，考查了三角函數(shù)最值的求法，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．