Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
（1）試寫出f（x）的周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）若{x|f（x）=a，0≤x≤$\frac{π}{4}$}≠∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求得f（x）的周期及單調(diào)增區(qū)間．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域，可得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[得kπ-$\frac{5π}{12}$，2kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z．
（2）由{x|f（x）=a，0≤x≤$\frac{π}{4}$}≠∅，可得f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的圖象和直線y=a有交點(diǎn)．
在[0，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1∈[2，3]，
∴a∈[2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．