Question

14．已知函數(shù)f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上處處可導，若[f（x）-f′（x）]tanx-f（x）＜0，則（　�。�

• A． $f（ln\frac{3}{2}）sin（ln\frac{3}{2}）$一定小于$0.6f（ln\frac{5}{2}）sin（ln\frac{5}{2}）$
• B． $f（ln\frac{3}{2}）sin（ln\frac{3}{2}）$一定大于$0.6f（ln\frac{5}{2}）sin（ln\frac{5}{2}）$
• C． $f（ln\frac{3}{2}）sin（ln\frac{3}{2}）$可能大于$0.6f（ln\frac{5}{2}）sin（ln\frac{5}{2}）$
• D． $f（ln\frac{3}{2}）sin（ln\frac{3}{2}）$可能等于$0.6f（ln\frac{5}{2}）sin（ln\frac{5}{2}）$

Answer 1

分析 構(gòu)造g（x）=f（x）sinx，根據(jù)已知條件判斷g（x）與g′（x）的關(guān)系，再構(gòu)造h（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，判斷h（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性得出結(jié)論．

解答 解：∵[f（x）-f′（x）]tanx-f（x）＜0，∴f（x）sinx＜f′（x）sinx+f（x）cosx．
令g（x）=f（x）sinx，則g′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx＞f（x）sinx=g（x）．∴g′（x）-g（x）＞0．
令h（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，則h′（x）=$\frac{g′（x）-g（x）}{{e}^{x}}$＞0．∴h（x）是增函數(shù)．
∴h（ln$\frac{3}{2}$）＜h（ln$\frac{5}{2}$），即$\frac{f（ln\frac{3}{2}）sin（ln\frac{3}{2}）}{{e}^{ln\frac{3}{2}}}$＜$\frac{f（ln\frac{5}{2}）sin（ln\frac{5}{2}）}{{e}^{ln\frac{5}{2}}}$，化簡得f（ln$\frac{3}{2}$）sin（ln$\frac{3}{2}$）＜0.6f（ln$\frac{5}{2}$）sin（ln$\frac{5}{2}$）．
故選：A．

點評 本題考查了導數(shù)的運算，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應用，屬于中檔題．