Question

19．已知函數(shù)f（x）=ae^x-1-1（x∈R），若方程f（x）+|x-a|=0有且僅有兩個不相等的實根，則實數(shù)a的取值范圍為[0，1）∪{-1}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)和方程之間的關系講方程轉(zhuǎn)化為f（x）=-|x-a|，利用數(shù)形結(jié)合分別作出函數(shù)f（x）與g（x）=-|x-a|的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由f（x）+|x-a|=0得f（x）=-|x-a|，
設g（x）=-|x-a|，
①若a=0，則f（x）=-1，g（x）=-|x|，作出f（x）和g（x）的圖象如圖：此時兩個函數(shù)有兩個交點，滿足條件，

②若a＞0，則函數(shù)g（x）的零點為（a，0），
由f（x）=0得ae^x-1-1=0，即e^x-1=$\frac{1}{a}$，
則x-1=ln$\frac{1}{a}$=-lna，
則x=1-lna，
即f（x）的零點為（1-lna，0），
若兩個函數(shù)有兩個零點，
則1-lna＞a，即1-lna-a＞0，
設h（a）=1-lna-a，則函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∵h（1）=1-ln1-1=0，
∴由h（a）＞0得h（a）＞h（1），得a＜1．
即此時0＜a＜1，

③若a＜0，當x＞a時，g（x）=-|x-a|=-x+a，
當g（x）與f（x）相切時，滿足有兩個交點，
此時f′（x）=ae^x-1，設切點為（m，n），
則切線斜率k=ae^m-1，n=ae^m-1-1，即切點坐標為（m，ae^m-1-1），
則切線方程為y-（ae^m-1-1）=ae^m-1（x-m），
即y=ae^m-1（x-m）+（ae^m-1-1）=ae^m-1•x-mae^m-1+ae^m-1-1，
∵g（x）=-x+a
∴ae^m-1=-1，-mae^m-1+ae^m-1-1=a，
得m-1-1=a，即m=a+2，
則ae^a+2-1=-1，即ae^a+1=-1，
得a=-1，

綜上所述，0≤a＜1或a=-1
故答案為：[0，1）∪{-1}

點評 本題主要考查根的個數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)與方程的關系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用分類討論的數(shù)學思想進行求解即可，綜合性較強，難度較大．