Question

6．已知A（0，-1）是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，直線AF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，滿足|AF|=5|FB|．以D（-1，1）為圓心的⊙D與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，滿足|AM|=|AN|．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求圓心D到直線MN的距離d的值．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，且F（c，0），由此利用橢圓性質(zhì)能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且E（x₀，y₀）為MN的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求出${x_0}=-\frac{3}{4}$，${y_0}=\frac{1}{2}$．由此能求出圓心D到直線MN的距離．

解答 解：（1）由題意設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，且F（c，0），
則由|AF|=5|FB|，知B（$\frac{6c}{5}，\frac{1}{5}$），代入橢圓C的方程并化簡得2a²=3c²=3（a²-1），即a²=3，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且E（x₀，y₀）為MN的中點(diǎn)，
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}+{{y}_{1}}^{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}+{{y}_{2}}^{2}$=1．
兩式相減得${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}+3（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）=0$，故2x₀+6y₀•k_MN=0．
∵|AM|=|AN|，故點(diǎn)A在線段MN的中垂線上．又點(diǎn)D在線段MN的中垂線上，
∴A，E，D三點(diǎn)共線，且AD⊥MN．k_AD=-2，∴${k_{MN}}=\frac{1}{2}$，從而${y_0}=\frac{{-2{x_0}}}{3}$．
∵$-2={k_{AD}}={k_{AE}}=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}$，解得${x_0}=-\frac{3}{4}$，${y_0}=\frac{1}{2}$．
∴圓心D到直線MN的距離d=|DE|=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查圓心到直線距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．