Question

1．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N⁺）展開式的前三項系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值；
（2）求這個展開式的一次項．

Answer 1

分析 （1）先求出）（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N⁺）展開式的通項公式，根據(jù)三項系數(shù)成等差數(shù)列可得2•n•$\frac{1}{2}$=1+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{4}$，從而求得n的值．
（2）令x的冪指數(shù)等于1，求得r的值，可得這個展開式的一次項．

解答 解：（1）（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N⁺）展開式的通項公式為 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{n-r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${（\frac{1}{\root{4}{x}}）}^{r}$=${C}_{n}^{r}$•2^-r•${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
根據(jù)前三項系數(shù)成等差數(shù)列可得2•n•$\frac{1}{2}$=1+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{4}$，即 （n-1）（n-8）=0，求得n=8或n=1（舍去）．
（2）令$\frac{16-3r}{4}$=1，可得r=4，
故這個展開式的一次項為 ${C}_{8}^{4}$•2^-4•x=$\frac{35}{8}$•x．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．