Question

10．如圖，四邊形BCC₁B₁是圓柱的軸截面．AA₁是圓柱的一條母線，已知AB=4，AC=2$\sqrt{2}$，AA₁=3．
（1）求圓柱的表面積．
（2）求證：BA₁⊥AC．

Answer 1

分析 （1）由已知求出圓柱底面圓半徑r，由此能求出圓柱的表面積．
（2）推導(dǎo)出AC⊥AA₁，AB⊥AC，從而AC⊥平面ABA₁，由此能證明BA₁⊥AC．

解答 解：（1）∵四邊形BCC₁B₁是圓柱的軸截面．AA₁是圓柱的一條母線，
AB=4，AC=2$\sqrt{2}$，AA₁=3．
∴r=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}\sqrt{16+8}$=$\sqrt{6}$，
∴圓柱的表面積S=2πr×AA₁+2πr²=2$\sqrt{6}$π+12π．
證明：（2）∵AA₁是圓柱的一條母線，∴AA₁⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴AC⊥AA₁，
∵四邊形BCC₁B₁是圓柱的軸截面，∴AB⊥AC，
∵AB∩AA₁=A，∴AC⊥平面ABA₁，
∵BA₁?平面ABA₁，∴BA₁⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓柱的表面積的求法，考查異面直線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．