Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos（ωx+\frac{π}{6}）$（0＜ω＜3）的圖象過點A（$\frac{π}{4}$，0）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）記g（x）=f（x）+sin2x，若α∈（0，π），且g（$\frac{α}{2}$）=0，求α的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差角（輔助角）公式，可得f（x）=cosωx，將點A（$\frac{π}{4}$，0）代入結合0＜ω＜3，可得ω的值，進而得到函數(shù)的周期；
（2）利用和差角（輔助角）公式，可得g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），結合α∈（0，π），且g（$\frac{α}{2}$）=0，可得α的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos（ωx+\frac{π}{6}）$=sin（ωx+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=cosωx的圖象過點A（$\frac{π}{4}$，0）．
∴cos$\frac{ωπ}{4}$=0，
又∵0＜ω＜3，
∴ω=2，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=cos2x，
∴g（x）=f（x）+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
若（$\frac{α}{2}$）=0，
則sin（α+$\frac{π}{4}$）=0，
又∵α∈（0，π），
∴$α=\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二倍角公式和和差角（輔助角）公式，難度中檔．