Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a（a≠0），前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=t•S_n+a（t≠0）．設(shè)b_n=S_n+1，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)t=1時，若對任意n∈N⁺，|b_n|≥|b₃|恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）當(dāng)t=1時，a_n=a，S_n=na，b_n=na+1，由對任意n∈N⁺，|b_n|≥|b₃|恒成立，得|na+1|≥|3a+1|，兩邊平方化為（n-3）a[（n+3）a+2]≥0，對a分類討論即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1=t•S_n+a（t≠0）． ①
當(dāng)n≥2時，S_n=tS_n-1+a ②，
①-②得，a_n+1=ta_n，
又由S₂=tS₁+a，得a₂=ta₁，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a，公比為t的等比數(shù)列，
∴a_n=a•t^n-1（n∈N^*）．
（2）當(dāng)t=1時，a_n=a，S_n=na，b_n=na+1，
由對任意n∈N⁺，|b_n|≥|b₃|恒成立，
得|na+1|≥|3a+1|，
化為（n-3）a[（n+3）a+2]≥0 （*）
當(dāng)a＞0時，n＜3時，（*）不成立；
當(dāng)a＜0時，（*）等價于（n-3）[（n+3）a+2]≤0 （**）
n=3時，（**）成立．
n≥4時，有（n+3）a+2≤0，即a≤n$-\frac{2}{n+3}$恒成立，∴$a≤-\frac{2}{7}$．
n=1時，有4a+2≥0，$a≥-\frac{1}{2}$．n=2時，有5a+2≥0，$a≥-\frac{2}{5}$．
綜上，a的取值范圍是$[-\frac{2}{5}，-\frac{2}{7}]$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、含絕對值數(shù)列問題、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．