Question

12．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且sin（A+$\frac{π}{6}$）-cos（B+C）=0．
（I）求角A；
（2）若b=4，sinB=2sinC，求邊a．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角和差的正弦公式以及三角形的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
（2）根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由sin（A+$\frac{π}{6}$）-cos（B+C）=0．
得sin（A+$\frac{π}{6}$）+cosA=0．
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA+cosA=0，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{3}{2}$cosA=0，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=-$\frac{3}{2}$cosA，
則tanA=-$\frac{3}{\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，則A=$\frac{2π}{3}$．
（2）若b=4，sinB=2sinC，
則b=2c=4，則c=2，
則a²=b²+c²-2bccosA=16+4-2×4×2×（-$\frac{1}{2}$）=28，
即a=$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求解，利用兩角和差的正弦公式以及三角形的正弦定理以及余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．