Question

2．已知F₁，F(xiàn)₂是離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，橢圓C與拋物線y²=4x在第一象限的交點為P，F(xiàn)是拋物線的焦點，|PF|=$\frac{5}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點F1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，運用拋物線的定義可得P的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式，解得a，b，c，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my-1，代入橢圓方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運用韋達(dá)定理，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理，再由函數(shù)的最值求法，即可得到所求所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，
由拋物線的定義可得|PF|=x_P+1=$\frac{5}{3}$，解得x_P=$\frac{2}{3}$，
可得P（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
代入橢圓方程可得$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{3^{2}}$=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my-1，代入橢圓方程3x²+4y²=12，
可得（3+4m²）y²-8my-8=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
判別式為64m²+32（3+4m²）＞0恒成立，
y₁+y₂=$\frac{8m}{3+4{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{8}{3+4{m}^{2}}$，
即有$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4
=（1+m²）（-$\frac{8}{3+4{m}^{2}}$）-2m（$\frac{8m}{3+4{m}^{2}}$）+4=-2+$\frac{10}{3+4{m}^{2}}$，
當(dāng)m=0時，取得最大值$\frac{4}{3}$；即有$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$的范圍為（-2，$\frac{4}{3}$]．

點評 本題考查橢圓的方程，注意運用拋物線的定義以及點滿足橢圓方程，考查向量的數(shù)量積的范圍，注意設(shè)出直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．