Question

4．過點(diǎn)M（-2，0）作直線l交雙曲線x²-y²=1于A、B兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 分類討論，利用x₁x₂+y₁y₂=0，根據(jù)（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0，把兩根的和與積代入后整理得到矛盾的式子，從而得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)過M（-2，0）的直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，
把x=-2代入雙曲線x²-y²=1得，A（-2，$\sqrt{3}$），B（-2，-$\sqrt{3}$），此時(shí)不滿足∠AOB=90°，
當(dāng)過M（-2，0）的直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），
代入雙曲線x²-y²=1，可得（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{4{k}^{2}+1}{1-4{k}^{2}}$，
若∠AOB=90°，則x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）（-$\frac{4{k}^{2}+1}{1-4{k}^{2}}$）+2k²•$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$+4k²=0
整理得，9k²+1=0．此式顯然不成立．
所以，不存在使∠AOB=90°的直線l

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常用“設(shè)而不求的”解題方法，即利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求得直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，此題考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．