Question

15．如圖所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥PB．

Answer 1

分析 根據(jù)底面是圓，得到BC⊥AC，再根據(jù)PA⊥平面ABC得到PA⊥BC，最后綜合即可證明AE⊥平面PBC，即可證明AE⊥PB．

解答 證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC．而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC．
又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE．
∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC．
又∵PB?平面PBC，
∴AE⊥PB．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，通過對已知條件的分析，得到線面垂直，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．