Question

13．已知橢圓C₁；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1有相同的離心率，經(jīng)過(guò)橢圓C₂的左頂點(diǎn)作直線l，與橢圓C₂相交于P、Q兩點(diǎn)，與橢圓C₁相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若直線y=-x經(jīng)過(guò)線段PQ的中點(diǎn)M，求直線l的方程：
（2）若存在直線l，使得$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（-2，0），Q（x，y），線段PQ的中點(diǎn)M為$（\frac{x-2}{2}，\frac{y}{2}）$，可得$\frac{x-2}{2}+\frac{y}{2}$=0，與橢圓C₂聯(lián)立解出，即可得出直線l的方程．
（2）橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．設(shè)2c是橢圓C₁；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距，則$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，橢圓的方程化為：x²+4y²=4b²．設(shè)直線l的方程為：y=k（x+2），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．分別與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、再利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)P（-2，0），Q（x，y），線段PQ的中點(diǎn)M為$（\frac{x-2}{2}，\frac{y}{2}）$，
∴$\frac{x-2}{2}+\frac{y}{2}$=0，化為x+y=2．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
∴直線l的方程為：y=0，或y-0=$\frac{\frac{4}{5}-0}{\frac{6}{5}-（-2）}$（x+2），化為x-4y+2=0．
（2）橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
設(shè)2c是橢圓C₁；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距，則$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，可得a=2b，c=$\sqrt{3}$b，橢圓的方程化為：x²+4y²=4b²．
設(shè)直線l的方程為：y=k（x+2），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
∴x₃+x₄=$\frac{-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
|PQ|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}]}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$．

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4^{2}}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}-4^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（^{2}+4^{2}{k}^{2}-4{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$|\overrightarrow{AB}|$=3$|\overrightarrow{PQ}|$，
∴3×$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（^{2}+4^{2}{k}^{2}-4{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$．
化為：b²=1+$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$∈（1，9]，
∴b∈（1，3]．
∴b的取值范圍是（1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、向量的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．