Question

9．電影放映機(jī)上聚光燈泡的反射面，是由橢圓的一部分CAB（如圖），繞著OA軸旋轉(zhuǎn)而成的，如果把燈泡放在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F₁處，那么根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，由F₁發(fā)出光線，經(jīng)反射面反射后，都集中在橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F₂處，因此，只要把影片放在F₂處，就可以得到最強(qiáng)的光線，現(xiàn)已知|F₁A|=1.5cm，|BC|=5.2cm，那么聚光燈泡F₁與影片門F₂之間應(yīng)該距離多少cm．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$．可得$\frac{2^{2}}{a}$=|BC|=5.2，又|F₁A|=1.5=a-c，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
把x=c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$．
∴$\frac{2^{2}}{a}$=|BC|=5.2，|F₁A|=1.5=a-c，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=$\frac{45}{8}$，c=$\frac{33}{8}$．
∴聚光燈泡F₁與影片門F₂之間距離=2c=$\frac{33}{4}$cm．
答：聚光燈泡F₁與影片門F₂之間應(yīng)該距離$\frac{33}{4}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．