Question

已知函數(shù)f（x）為二次函數(shù)，且滿足f（1）=1，f（x）有兩個零點為0和2，設(shè)F（x）=

f(x)，x≥0 f(-x)，x＜0

（1）求函數(shù)f（x）和F（x）的解析式；
（2）在答卷給定的坐標系中畫出函數(shù)F（x）的圖象；（不需列表）
（3）根據(jù)圖象討論關(guān)于x的方程F（x）-k=0（k∈R）根的個數(shù)（只需寫出結(jié)果，不要解答過程）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，設(shè)f（x）=ax（x-2）；從而寫出f（x）=-x（x-2）；F（x）=

-x(x-2)，x≥0 -x(x+2)，x＜0

；
（2）作函數(shù)圖象，
（3）由圖象可知確定方程的根的個數(shù)．

解答： 解：（1）由題意，設(shè)f（x）=ax（x-2）；
則由f（1）=1得，-a=1；
解得a=-1；
故f（x）=-x（x-2）；
F（x）=

-x(x-2)，x≥0 -x(x+2)，x＜0

；
（2）作圖如下，

（3）由圖象可知，
當k＞1時，關(guān)于x的方程F（x）-k=0（k∈R）有0個根，
當k=1時，關(guān)于x的方程F（x）-k=0（k∈R）有2個根，
當0＜k＜1時，關(guān)于x的方程F（x）-k=0（k∈R）4個根，
當k=0時，關(guān)于x的方程F（x）-k=0（k∈R）有3個根，
當k＜0時，關(guān)于x的方程F（x）-k=0（k∈R）有2個根．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求法及作圖能力的培養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．