Question

14．已知α，β∈（0，π），cosα=$\frac{12}{13}$，cos（α+β）=$\frac{3}{5}$，則cosβ=$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 由已知可得α∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（0，$\frac{π}{2}$）或α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），當(dāng)α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π）時(shí)，由α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得β∈（π，$\frac{3π}{2}$），矛盾，可得α+β∈（0，$\frac{π}{2}$），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，sin（α+β），再利用兩角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵α，β∈（0，π），cosα=$\frac{12}{13}$＞0，cos（α+β）=$\frac{3}{5}$＞0，
∴α∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（0，$\frac{π}{2}$）或α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
∵α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π）時(shí)，由α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得β∈（π，$\frac{3π}{2}$），矛盾，故α+β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{5}{13}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{4}{5}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$+$\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{56}{65}$．
故答案為：$\frac{56}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．