Question

3．已知直線x-9y-8=0與曲線C：y=x³-px²+3x相交于A，B，且曲線C在A，B處的切線平行，則實(shí)數(shù)p的值為（　�。�

• A． 4
• B． 4或-3
• C． -3或-1
• D． -3

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，得到函數(shù)在A，B點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由A，B點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等得到3x₁²-2px₁+3=3x₂²-2px₂+3=m，把x₁，x₂看作方程3x²-2px+3-m=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系得到x₁+x₂=$\frac{2}{3}$p，進(jìn)一步得到AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后再證明AB的中點(diǎn)在曲線C上，最后由AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等求得實(shí)數(shù)p的值，注意檢驗(yàn)．

解答 解：由y=x³-px²+3x，得y′=3x²-2px+3，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則曲線C在A，B處的切線的斜率分別為3x₁²-2px₁+3，
3x₂²-2px₂+3，
∵曲線C在A，B處的切線平行，
∴3x₁²-2px₁+3=3x₂²-2px₂+3，
令3x₁²-2px₁+3=3x₂²-2px₂+3=m，
∴x₁，x₂是方程3x²-2px+3-m=0的兩個(gè)根，
則x₁+x₂=$\frac{2}{3}$p，
下面證線段AB的中點(diǎn)在曲線C上，
∵$\frac{{{x}_{1}}^{3}-p{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}+{{x}_{2}}^{3}-p{{x}_{2}}^{2}+3{x}_{2}}{2}$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}]-p[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]+3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$
=$\frac{2p-\frac{4}{27}{p}^{3}}{2}$=p-$\frac{2}{27}$p³，
而（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）³-p（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²+3•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{27}$p³-$\frac{1}{9}$p³+p
=p-$\frac{2}{27}$p³，
∴線段AB的中點(diǎn)在曲線C上，
由x₁+x₂=$\frac{2}{3}$p，知線段的中點(diǎn)為（$\frac{1}{3}$p，$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{3}$p-8）），
∴-$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{27}$p=p-$\frac{2}{27}$p³，解得p=-1，-3或4．
當(dāng)p=-1時(shí)，y=x³+x²+3x的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²+2x+3＞0恒成立，
即函數(shù)為遞增函數(shù)，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，舍去；
p=-3，或4時(shí)，y=x³+3x²+3x單調(diào)，不成立．
p=4時(shí)，y=x³-px²+3x不單調(diào)，成立．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，求解該題的關(guān)鍵是利用AB中點(diǎn)的坐標(biāo)相等，關(guān)鍵是證明AB的中點(diǎn)在曲線C上，是中檔題．