Question

7．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，BC=10，AA₁=8，點E，F分別在A₁B₁，D₁C₁上，A₁E=D₁F=4，過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．
（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；
（2）求直線AF與平面α所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）容易知道所圍成正方形的邊長為10，再結合長方體各邊的長度，即可找出正方形的位置，從而畫出這個正方形；
（2）分別以直線DA，DC，DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，考慮用空間向量解決本問，能夠確定A，H，E，F幾點的坐標．設平面EFGH的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根據$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EH}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AF}$坐標可以求出，可設直線AF與平面EFGH所成角為θ，由sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AF}＞|$即可求得直線AF與平面α所成角的正弦值．

解答 解：（1）交線圍成的正方形EFGH如圖：
（2）作EM⊥AB，垂足為M，則：
EH=EF=BC=10，EM=AA₁=8；
∴$MH=\sqrt{E{H}^{2}-E{M}^{2}}=6$，∴AH=10；
以邊DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則：
A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；
∴$\overrightarrow{EF}=（-10，0，0），\overrightarrow{EH}=（0，6，-8）$；
設$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$為平面EFGH的法向量，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-10x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EH}=6y-8z=0}\end{array}\right.$，取z=3，則$\overrightarrow{n}=（0，4，3）$；
若設直線AF和平面EFGH所成的角為θ，則：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{40}{\sqrt{180}•5}=\frac{4\sqrt{5}}{15}$；
∴直線AF與平面α所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．

點評 考查直角三角形邊的關系，通過建立空間直角坐標系，利用空間向量解決線面角問題的方法，弄清直線和平面所成角與直線的方向向量和平面法向量所成角的關系，以及向量夾角余弦的坐標公式．