Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）求f（x）定義域；
（Ⅱ）證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）容易看出x滿足x≠0，從而便可得出函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，從而證明f（x₁）＜f（x₂）便得出f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）要使函數(shù)f（x）有意義，只要使x≠0；
∴f（x）的定義域為{x|x∈R，且x≠0}；
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$=$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₂-x₁＜0，且x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評 考查函數(shù)定義域的概念及求法，奇函數(shù)的定義，根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后為分式的一般要通分．