Question

1．如圖，一個底面半徑為$\sqrt{3}$的圓柱被與其底面所成角為30°的平面所截，其截面是一個橢圓Γ，以該橢圓Γ的中心為原點，長軸所在的直線
為x軸，建立平面直角坐標系．點F是橢圓的右焦點．點M（m，0）、N（0，n）分別是x軸、y軸上的動點，且滿足$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NF}$=0，若點P滿足$\overrightarrow{OM}$=
2$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{PO}$．
（1）求該橢圓Γ的長軸長及點P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過點F任作一直線與點P的軌跡交于A、B兩點，直線OA、OB與直線x=-1分別交于點S、T（O為坐標原點），試判斷$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$是否為定值？若是．求出這個定值：若不是．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過圓柱的底面半徑可知橢圓Γ的短半軸，利用cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可得長半軸，進而由$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NF}$=0可得結(jié)論；
（2）通過設(shè)直線AB的方程，分別聯(lián)立l_OA、l_OB與直線x=-1可得S、T點坐標，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵圓柱的底面半徑為$\sqrt{3}$，∴橢圓Γ的短半軸b=$\sqrt{3}$，
又∵橢圓Γ所在平面與圓柱底面所成角為30°，
∴cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a=2，
∴橢圓Γ的長軸長2a=4，
橢圓Γ的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
橢圓Γ的右焦點F（1，0），∴$\overrightarrow{NF}$=（1，-n），$\overrightarrow{MN}$=（-m，n），
∵$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NF}$=0，∴m+n²=0，
設(shè)點P（x，y），由$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{PO}$可知：
（m，0）=2（0，n）+（-x，-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-x}\\{n=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，代入m+n²=0，可得：y²=4x，
∴點P的軌跡C的方程為：y²=4x；
（2）結(jié)論：$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$為定值0．
理由如下：
設(shè)直線AB的方程為：x=ty+1，A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
則：l_OA：y=$\frac{4}{{y}_{1}}$x，l_OB：y=$\frac{4}{{y}_{2}}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{{y}_{1}}x}\\{x=-1}\end{array}\right.$，∴S（-1，-$\frac{4}{{y}_{1}}$），同理得T（-1，-$\frac{4}{{y}_{2}}$），
∴$\overrightarrow{FS}$=（-2，-$\frac{4}{{y}_{1}}$），$\overrightarrow{FT}$=（-2，-$\frac{4}{{y}_{2}}$），
∴$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$=4+$\frac{16}{{y}_{1}{y}_{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可知：y²-4ty-4=0，
由韋達定理可知：y₁y₂=-4，
∴$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$=4+$\frac{16}{-4}$=0，
∴$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$的值是定值，且定值為0．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．