Question

15．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=eⁿ（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若b_n=lna_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n=eⁿ，只要證明$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=非0常數(shù)即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=lna_n=n，可得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n=eⁿ，
a₁=e，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{e}^{n+1}}{{e}^{n}}$=e，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為e，公比為e的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：b_n=lna_n=lneⁿ=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
其前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了變形推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．